Die seltsamen Verhaltensweisen der Unendlichkeit

SciencElements

Was ist die größte Zahl? Eine sehr interessante Frage, die ich hier diskutieren werde, denn ich bin mir sicher, dass einige sagen werden die größte Zahl sei ∞. Jedoch ist dieses Zeichen, etwas unendliches, nur ein Begriff um über diese niemals endenden Zahlen nachdenken und sie beschreiben zu können.

Aber etwas mehr Kontext: Wenn wir Gegenstände zählen und sie mit natürlichen Ziffern beschreiben nennt man diese Ziffern Kardinalzahlen; so haben z.B. vier Menschen eine Kardinalität von 4, fünf Affen haben die Kardinalität von 5. Also was ist die Kardinalität aller natürlichen Zahlen? Es ist keine natürliche Zahl, weil es ja immer eine natürliche Zahl+1 gibt. Deshalb bezeichnet man diese riesige Zahl mit einem speziellen Ausdruck: Aleph Null. Aleph ist der erste hebräische Buchstabe und sieht aus wie ein großes N. Aber das ist nur eine Unendlichkeit. Was ist mit Unendlichkeiten, die noch größer sind als Aleph Null. Stell dir dazu Folgendes vor: Ich zeichne Aleph Null viele Linien nebeneinander und bezeichne sie mit Zahlen; nun zeichne ich eine weitere daneben. Wie viele Linien sind das? Es sind immer noch Aleph Null Linien, aber wir können etwas verändern, wenn wir sie in der Reihenfolge beschriften, wie wir sie gezeichnet haben. Was ist diese neue Linie nach Aleph Null Linien? Sie ist die Linie ω, eine Ordinalzahl. Sie ist nicht größer als Aleph Null, sondern gleich groß. Doch danach geht es noch weiter. Wir können zu ω alle Zahlen aus Aleph Null addieren, was uns irgendwann zu ω+ω bringt, aber es gibt ein Problem hier. Mathematik ist etwas ähnliches zu Hypothesen der Wissenschaft, dieses etwas nennt sich ein Axiom. Anders als Hypothesen, die sich auf die Naturgesetze stützen, können Axiome alles behaupten. Es gibt ein Axiom der Unendlichkeit, welches die Existenz von Aleph Null garantiert, jedoch garantiert sie nicht die Existenz der Zahlen bis ω+ω. Dies bedeutet jedoch nicht, dass wir für jede neue Unendlichkeit ein neues Axiom erstellen müssen. Das Axiom of Replacement kann uns dort helfen wenn wir die Kardinalzahlen bis ω nehmen und durch etwas anderes ersetzen, wie z.B. Bananen, Sterne oder Menschen erschaffen wir etwas anderes, was einen gleichen Kardinalwert hat. Wenn wir also alle Aleph Null Zahlen nehmen und ω zu jeder Zahl addieren erhalten wir ω+ω. Von hier gibt es keine Grenzen mehr; irgendwann kommen wir zur Zahl ω hoch ω. Wir können das ewig wiederholen, bis wir zur nächstgrößeren Zahl kommen Omega (ω) 1 die auch eine Ordinal Zahl ist, jedoch Aleph Null Zahlen nach ω kommt, das bedeutet wiederum, dass diese Ordinalzahl auch eine Kardinalität hat. Diese bezeichnen wir als Aleph One. Auch das können wir für Aleph Null machen, bis wir bei Aleph Omega sind. Die Unendlichkeiten können aber noch größer werden. Die größte, die ich hier bespreche, ist Aleph Omega mit Aleph Null Omegas; diese Zahl ist so viel größer als Aleph Null, dass auf einer Linie auf dem Bildschirm mit 0 als Start und Aleph Omega mit Aleph Null Omegas als Ende der Abstand zwischen 0 und Aleph Null kleiner wäre als ein Atom. Es gibt noch mehr Unendlichkeiten als diese, die noch größer sind, jedoch reicht das fürs erste. Mit diesem neuerworbenem Wissen könnt ihr eure Matheleher oder Mitschüler beeindrucken, vielleicht auch zur Verzweiflung treiben. Ich bedanke mich fürs Lesen.

Hinterlasse einen Kommentar

  Abonnieren  
Benachrichtige mich bei